כשל המהמר

כשל המהמר, הידוע גם בשם כשל מונטה קרלו, היא התפיסה השגויה על פיה אם משהו קורה בתדירות גבוהה יחסית לתדירות הרגילה בפרק זמן נתון, אזי בעתיד הוא יקרה בתדירות נמוכה יותר (או להפך – אירוע שקורה פעמים מועטות ביחס לבדרך כלל, יקרה בעתיד בתדירות גבוהה יותר). במצבים שבהם התוצאה הנצפית היא אקראית ומורכבת מניסויים בלתי תלויים של תהליך אקראי (סטוכסטי), תפיסה זו מוטעית. כשל לוגי זה עשוי להתעורר במצבים רבים, אך הוא קשור באופן הדוק להימורים, שם הוא נפוץ בקרב שחקנים לא מנוסים.

המונח "כשל מונטה קרלו" נטבע לאור אחת הדוגמאות המוכרות ביותר של התופעה, אשר התרחשה בקזינו של מונטה קרלו בשנת 1913.

מכונה גם "שיטת ד'אלמבר" על שמו של המתמטיקאי ז'אן לה רון ד'אלמבר.

הסבר

כשל המהמר, לפי לודוויג פון מיזס, מבוסס על אי-הבנה נפוצה ביחס לכללי ההסתברות, שבה מבלבלים בין ההסתברות הכללית במחלקה מסוימת של אירועים, לבין ההסתברות למקרה מסוים בתוך המחלקה. ספציפית, כשל המהמר כולל הנחה שישנה הסתברות רבה יותר להתרחשות אירוע אקראי משום שהוא לא אירע משך זמן רב, או שישנה הסתברות קטנה יותר לחזרה של אירוע אם הוא התרחש פעמים מספר ברצף.

ניתן לאייר את הכשל באמצעות בחינת ההסתברות בהטלת מטבע. ברור כי בהטלה הראשונה ישנה הסתברות של חמישים אחוז שהמטבע יפול על צד ה"עץ" או על צד ה"פלי". ברור גם כי ההסתברות שהמטבע יפול עשר פעמים רצופות על צד הפלי קטנה הרבה יותר (1:1024).

הכשל טמון בהנחה ההגיונית, כביכול, שנפילת המטבע על צד הפלי בהטלה הראשונה מקטינה את הסיכוי, שהוא ייפול על פלי גם בפעם השנייה, מחמישים אחוז לעשרים וחמישה אחוז. בפועל, הסיכוי נותר חמישים אחוז ביחס לכל הטלה בנפרד, משום ש"למטבע אין זיכרון" וכל הטלה היא אירוע נפרד שאינו תלוי בקודמו (אי-תלות סטטיסטית). תכונה הסתברותית זו מכונה חוסר זיכרון. רק ההסתברות מראש להיווצרות רצף של אירועים כאלו הולכת וקטנה בהתאם למספר האירועים העתידים להתרחש. מסיבה זו, החשיבה של מהמרים על רצף אירועים כ"רצף ניצחונות" או "רצף של מזל" היא כשל לוגי.

כשל אחר המעוגן בכשל המהמר והאופייני לחשיבתם של מהמרים הוא הסברה שאם התרחשות מסוימת חזרה על עצמה מספר פעמים, הסיכויים קטנים שהיא תשנה. לדוגמה: אם המטבע הוטל כך וכך פעמים והתוצאה הייתה ארבע פעמים פלי ברציפות, הסיכוי לפלי בפעם החמישית קטן יותר. כשל דומה הוא הניסיון לבנות תוכנית הימורים המבוססת על חזרה על אותו הימור תוך הכפלת סכום ההימור. לדוגמה: ליד גלגל הרולטה שמים שקל אחד על אדום, אם מפסידים, שמים שני שקלים על אדום, ואז ארבעה שקלים, וכן הלאה, עד שזוכים (מרטינגל) שיטה זו עובדת רק אם הסכום העומד לרשות המהמר אינו מוגבל. במציאות, תוחלת הרווח אינה משתנה.

כשל הלוטו

זן משנה של כשל המהמר, המכונה לעיתים כשל הלוטו, הוא הנטייה לטעון כי הייתה הסתברות גבוהה או אפילו בלתי נמנעות לאירוע מן העבר, פשוט משום שהוא אירע בפועל.

דוגמאות

• "במכונה הזאת אף אחד לא זכה כבר הרבה זמן. תראה איך בתוך כמה דקות תגיע הזכייה הגדולה".
• "המטבע כבר נפל שש פעמים על פלי, עכשיו הוא חייב ליפול על עץ!!"

ראו גם

• כשל המהמר ההפוך
• אשליית צבר
• מרטינגל (שיטת הימורים)
• פרדוקס המעטפות
• אקסיומות פון נוימן-מורגנשטרן

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא כשל המהמר בוויקישיתוף

• דני הלמן, לוטו: לא רק מזל, מגזין "גלילאו", 24 באוגוסט 2008